题目内容

19.在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,O为△ABC的外心.
(1)若b=2,求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$的值;
(2)已知${S_{△ABC}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$,b=2,c=3,求$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$的值.

分析 (1)设外接圆半径为R,由题意和余弦定理求出cos∠CAO,由向量的数量积运算求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$的值;
(2)利用三角形的面积公式和条件求出sinA,由△ABC为锐角三角形、特殊角的正弦值求出∠BAC,由余弦、正弦定理求出a和R,由圆的性质和∠BAC求出∠BOC,由向量的数量积运算求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$的值.

解答 解:(1)设外接圆半径为R,在△AOC中,且b=2,
由余弦定理得,cos∠CAO=$\frac{|AC{|}^{2}+|AO{|}^{2}-|CO{|}^{2}}{2|AC||AO|}$=$\frac{4}{4R}$=$\frac{1}{R}$,
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=2×R×$\frac{1}{R}$=2;
(2)∵${S}_{△ABC}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$,b=2,c=3,
∴$\frac{1}{2}bcsin∠BAC$=$\frac{1}{2}×2×3×sin∠BAC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,解得sin∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵△ABC为锐角三角形,∴∠BAC=60°,则cos∠BAC=$\frac{1}{2}$,
根据余弦定理得:a2=b2+c2-2bc•cos∠BAC=4+9-6=7,
解得a=$\sqrt{7}$,
由正弦定理可得,2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$,则R=$\frac{\sqrt{21}}{3}$,
∵O为△ABC的外心,∴∠BOC=2∠BAC=120°,
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=|OB|•|OC|cos∠BOC=$\frac{\sqrt{21}}{3}×\frac{\sqrt{21}}{3}×(-\frac{1}{2})$=$-\frac{7}{6}$.

点评 本题考查平面向量的数量积运算,正弦、余弦定理,三角形的面积公式,圆周角定理,熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网