Question

18．若x，y为非零实数，代数式$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-8（$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）+15的值恒为正，对吗？答不对．

Answer 1

分析 由题意设t=$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，由条件和基本不等式求出t的范围，求出$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$代入代数式化简，利用二次函数的性质求出代数式的最小值，即可得到答案．

解答 解：由题意设t=$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，
由x，y为非零实数得，当xy＞0时，$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$≥2，
当xy＜0时，-（$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$）≥2，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$≤-2（当且仅当$\frac{x}{y}=\frac{y}{x}$时取等号），
所以t≤-2或t≥2，
因为${（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）}^{2}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$+2，所以$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$=${（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）}^{2}$-2=t²-2，
则$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-8（$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）+15=t²-8t+13，
设y=t²-8t+13=（t-4）²-3，
由t≤-2或t≥2得，当t=时函数y取到最小值是：-3，
所以t²-8t+13≥-3，则$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-8（$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）+15≥-3，
所以代数式$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-8（$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）+15的值不恒为正，
故答案为：不对．

点评 本题考查基本不等式，二次函数的性质，以及换元法的应用，属于中档题．