题目内容
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,,
是它的两个顶点,直线
与直线
相交于点
,与椭圆相交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若,求k的值;
(Ⅲ)求四边形面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
或
;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)直接由题可得,
可得椭圆方程;
(Ⅱ)由题,写出直线,
的方程,设
,由题可得
,再
可得
,即可求得k的值;
(Ⅲ)利用点到直线的距离公式求得到
的距离,再求得AB的长,再利用四边形
的面积公式
和基本不等式可求得面积的最值.
(Ⅰ)解:依题易知椭圆的长半轴为,短半轴为
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)直线,
的方程分别为
.如图,设
,其中
,且
满足方程,
故.①
由知
,得
;
由在
上知
,得
.
所以,解得
或
,
(Ⅲ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到
的距离分别为
,
又,所以四边形
的面积为
,
当,即当
时,上式取等号.所以
的最大值为
.
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