Question

【题目】已知直线过点，且与抛物线相交于两点，与轴交于点，其中点在第四象限，为坐标原点.

(Ⅰ)当是中点时，求直线的方程；

(Ⅱ)以为直径的圆交直线于点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式得的横坐标，代入抛物线方程得的纵坐标，最后根据点斜式求直线的方程；（2）先设坐标,以及直线方程根据三点共线设为，由圆的性质得，并用坐标表示，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简解得的值.

试题解析：(Ⅰ)因为是中点，，点在轴上，

所以的横坐标,代入得，，

又点在第四象限，所以的坐标为，所以直线即直线的方程为.

(Ⅱ)显然直线的斜率不为0，设直线的方程为,

又三点共线，则可设为且，

联立方程，化简得到,

由韦达定理得,又在上，所以,

因为在以为直径的圆上,所以，即,

又，所以,即,

所以.