题目内容
【题目】如图,在中,
,
是
的中点,
是线段
上的一点,且
,
,将
沿
折起使得二面角
是直二面角.
(l)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正切值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(l)由勾股定理可得,结合
是
的中点可得
,根据线面平行的判定定理可得
平面
;(2)据题设分析知,
两两互相垂直,以
为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,求出直线
的方向向量,利用向量垂直数量积为零,列方程求出平面
的一个法向量,由空间向量夹角余弦公式求出直线
与平面
所成角的正弦值,进而可得结果.
详解:(1)因为,所以
又,
,
所以
又因为
所以是
的斜边
上的中线,所以
是
的中线,
所以是
的中点,
又因为是
的中位线,
所以
又因为平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)据题设分析知,两两互相垂直,以
为原点,
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系:
因为,且
分别是
的中点,
所以,
所以有点,
所以,
设平面的一个法向量为
,则
即
,所以
令,则
设直线与平面
所成角的大小为
,则
.
又,所以
,
所以.
故直线与平面
所成角的正切值为
.
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