题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知定点,点A在x轴的非正半轴上运动,点B在y轴上运动,满足
,A关于点B的对称点为M,设点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点,动直线
与C相交于P,Q两点,求过G,P,Q三点的圆在直线
上截得的弦长的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据点A在x轴的非正半轴上运动,点B在y轴上运动,设,再由
,
,得到a,b的关系式,然后由A关于点B的对称点为M,得到
,利用代入法化简求解.
(2)由抛物线与直线相交,设
,根据
关于
轴对称,得到过G,P,Q三点的圆的圆心在x轴上,设圆心为
,由
,运用两点间的距离公式求得圆的方程,令
,得到圆E在直线
上截得的弦长,再结合基本不等式求最小值.
(1)因为点A在x轴的非正半轴上运动,点B在y轴上运动,
所以设,
因为 ,
,
所以,
因为A关于点B的对称点为M,
所以 ,
即 ,
代入式得
,
所以曲线C的方程是.
(2)由(1)知抛物线的方程为,
直线与抛物线方程联立解得,
,
设,
因为关于
轴对称,所以过G,P,Q三点的圆的圆心在x轴上,
设圆心为,
所以,即
,
解得,
所以圆E的方程为,
令,的
,
所以圆E在直线上截得的弦长为
,
因为,
所以,
,
当且仅当,即
时,取等号,
所以当时,圆E在直线
上截得的弦长的最小值为
.
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