题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为
,
为坐标原点,过点
的直线
与
交于
、
两点.
(1)若直线与圆
相切,求直线
的方程;
(2)若直线与
轴的交点为
,且
,
,试探究:
是否为定值.若为定值,求出该定值,若不为定值,试说明理由.
【答案】(1);(2)
为定值
.
【解析】
(1)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,由直线
与圆
相切,得出圆心到直线
的距离等于半径,进而可求得直线
的方程;
(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,可知当直线
的斜率不存在时不满足题意,在直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,与抛物线
的方程联立,列出韦达定理,利用向量的坐标运算得出关于
、
的表达式,代入韦达定理化简计算可求得
的值.
(1)由已知得.
当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,此时,直线
与圆
相交,不合乎题意;
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,即
,
由直线与圆
相切,得
,解得
.
综上所述,直线的方程为
;
(2)当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,则直线
与抛物线
只有一个交点,不合乎题意;
当直线与
轴不重合时,设直线
的方程为
,设
、
.
若,则直线
与
轴平行,不合乎题意,所以
.
联立,消去
并整理得
,由韦达定理得
,
易知,由
,得
,
则,
,同理可得
,
所以,
所以为定值
.
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