题目内容
【题目】已知椭圆方程为.
(1)设椭圆的左右焦点分别为、,点在椭圆上运动,求的值;
(2)设直线和圆相切,和椭圆交于、两点,为原点,线段、分别和圆交于、两点,设、的面积分别为、,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)设点,由该点在椭圆上得出,然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出的值;
(2)分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论,在直线的斜率不存在时,可求得,在直线的斜率存在时,设直线的方程为,设点、,根据直线与圆相切,得出,并将直线的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,将表示为的函数,转化为函数的值域的求解,综合可得出答案.
(1)由已知,,设,
由,
同理,可得,
.
结合,得,故;
(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为,
由对称性,不妨设,此时,故.
若直线的斜率存在,设其方程为,
由已知可得,则,
设、,将直线与椭圆方程联立,
得,
由韦达定理得,.
结合及,
可知.
将根与系数的关系代入整理得:
,
结合,得.
设,,
则.
的取值范围是.
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