题目内容
【题目】在正六棱锥
中，底面边长和侧棱分别是2和4，
，
分别是
和
的中点，给出下面三个判断：（1）
和所成的角的余弦值为
；（2）
和底面所成的角是
；（3）平面
平面
；其中判断正确的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】
（1）把
和
所成的角转化成和
所成的角，然后在三角形
中用余弦定理求解即可；
（2）根据线面角的定义得出
为所求的角，然后在三角形
中进行求解即可；
（3）通过题意得出
和
，进而得出
平面
，最后得出结论.
解：根据题意，画出图形如下：
由题得：
，
，
对于（1）因为
为正六棱锥，所以底面
为正六边形，所以
.
所以和所成的角就是和所成的角，即
为和所成的角.
在
中，
，
所以和所成的角余弦值为
.故（1）正确.
对于（2），连接
和
交于
，连接
.则
底面.
和底面所成的角为.
因为底面，
平面，所以
.
所以
.
又因为
，所以
.
所以，和底面所成的角为
.故（2）正确.
对于（3），连接
，则
为等边三角形，因为
为中点，所以.
因为底面，
平面，所以.
又因为
平面，所以平面.
又因为平面
，所以平面
平面.故（3）正确.
综上：（1）（2）（3）都正确，所以正确的个数为3个.
故选：D.
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