Question

、已知向量="(1,2)," =(-2,1)，k,t为正实数，向量 = +(t+1), =-k+
（1）若⊥,求k的最小值；
（2）是否存在正实数k、t,使∥?  若存在,求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）x=a+(t
由x⊥y,得x·y=0,即（-2t
整理得k= ∵t＞0,∴k=≥2=2，当且仅当t=1时，k=2.
所以k的最小值为2.
(2)假设存在正实数k,t使x∥y,则(-2t-1)(-2k+ 整理得tk(t+1)+1=0.
满足上述等式的正实数k、t不存在，所以不存在正实数k、t,使x∥y.

（1）利用⊥坐标化后建立关于k的方程，然后用t表示出k,从而得到k关于t的函数关系式，再考虑采用函数求最值的方法求k的最值.
(II) 假设存在正实数k,t使,则(-2t-1)(-2k+然后得到关于k,t的方程，判断此方程是否有解即可.
（1）x=a+(t
由x⊥y,得x·y=0,即（-2t
整理得k= ∵t＞0,∴k=≥2=2，当且仅当t=1时，k=2.
所以k的最小值为2.
(2)假设存在正实数k,t使x∥y,则(-2t-1)(-2k+ 整理得tk(t+1)+1=0.
满足上述等式的正实数k、t不存在，所以不存在正实数k、t,使x∥y.