题目内容
【题目】已知分别是焦距为
的椭圆
的左、右顶点,
为椭圆
上非顶点的点,直
线的斜率分别为
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线(与
轴不重合)过点
且与椭圆
交于
两点,直线
与
交于点
,试求
点的轨迹是否是垂直
轴的直线,若是,则求出
点的轨迹方程,若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:
(1)由题意可求得,则椭圆
的方程为
.
(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点的轨迹方程为
.
试题解析:
(1)设为椭圆
上非顶点的点,
,又
,即
,
,故椭圆
的方程为
.
(2)当过点直线
斜率不存在时,不妨设
,直线
的方程是
,直线
的方程是
,交点为
.若
,由对称性可知交点为
.
点在直线
上,
当直线斜率存在时,设的方程为
,
由得
,
记,则
.
的方程是
的方程是
,
由得
,
即
.
综上所述,点的轨迹方程为
.
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