题目内容

【题目】设椭圆C: 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,

(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果|AB|= ,求椭圆C的方程.

【答案】
(1)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1>0,y2<0

直线l的方程为 ,其中

联立

解得

因为 ,所以﹣y1=2y2.即﹣ =2

解得离心率


(2)解:因为 ,∴

,所以 ,解得a=3,

故椭圆C的方程为


【解析】(1)点斜式设出直线l的方程,代入椭圆,得到A、B的纵坐标,再由 ,求出离心率.(2)利用弦长公式和离心率的值,求出椭圆的长半轴、短半轴的值,从而写出标准方程.
【考点精析】本题主要考查了直线的倾斜角和椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=0°;椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.

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