题目内容

【题目】在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a﹣c)cosB.
(1)求cosB;
(2)若 =4,b=4 ,求边a,c的值.

【答案】
(1)解:在△ABC中,∵bcosC=(3a﹣c)cosB,由正弦定理可得 sinBcosC=(3sinA﹣sinC)cosB,

∴3sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC,化为:3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.

∵在△ABC中,sinA≠0,故cosB=


(2)解:由 =4,b=4 ,可得,accosB=4,即 ac=12.…①.

再由余弦定理可得 b2=32=a2+c2﹣2accosB=a2+c2 ,即 a2+c2=40,…②.

由①②求得a=2,c=6; 或者a=6,c=2.

综上可得, ,或


【解析】(1)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值.(2)由 =4 可得 ac=12,再由余弦定理可得 a2+c2=40,由此求得边a,c的值.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;才能正确解答此题.

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