题目内容

(本小题满分12分)
在如图所示的四棱锥中,已知 PA⊥平面ABCD
的中点.

(1)求证:MC∥平面PAD
(2)求直线MC与平面PAC所成角的余弦值;
(3)求二面角的平面角的正切值.
(1)根据中位线性质,得到EM//AB,且EM= AB. 又因为,且,所以EM//DC,且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形, 则MCDE
(2)(3)

试题分析:(1 )如图,取PA的中点E,连接MEDE,∵MPB的中点,

EM//AB,且EM= AB. 又∵,且
EM//DC,且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形,
MCDE,又平面PAD, 平面PAD
所以MC∥平面PAD
(2)取PC中点N,则MNBC,PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC ,
,∴BC⊥平面PAC
MN⊥平面PAC所以,为直线MC与平面PAC所成角,

(3)取AB的中点H,连接CH,则由题意得
PA⊥平面ABCD,所以,则平面PAB.
所以,过H于G,连接CG,则平面CGH,所以
为二面角的平面角.


故二面角的平面角的正切值为
点评:解决该试题的关键是能利用线面角和二面角的定义,准确的表示角,借助于三角形的知识来求解得到,也可以建立空间直角坐标系来运用空间向量法来得到求解,属于中档题。
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