题目内容
如图所示的三棱锥A-BCD中,∠BAD=90°,AD⊥BC,AD=4,AB=AC=2,∠BAC=120°,若点P为△ABC内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正切值为2,则点P在△ABC内所成的轨迹的长度为
。
试题分析:因为∠BAD=90°,所以AD⊥AB,又AD⊥BC,且ABBC=B,所以AD⊥平面ABC。
在平面ABC内,取点P,连PA,则是DP与平面ABC所成角。
又因为AD=4,所以直线DP与平面ABC所成角的正切值为2,须AP=2,即点P在△ABC内所成的轨迹是以A为圆心,半径为2 的圆的一部分。
而∠BAC=120°=,故点P在△ABC内所成的轨迹的长度为=。
点评:典型题,综合性较强,考查知识全面,可谓之是“证算并重题”,较好地考查了数形结合思想及学生的逻辑推理能力、计算能力。解答本题的关键是认识到“点P在△ABC内所成的轨迹是以A为圆心,半径为2 的圆的一部分。”
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