题目内容

(本题满分10分)
如图,已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC两两垂直,且OA=2,OB=3,OC=4,EOC的中点.

(1)求异面直线BEAC所成角的余弦值;
(2)求二面角ABEC的余弦值.
(1) (2)

试题分析:解:(I)以O为原点,OBOCOA分别为xyz轴建立空间直角坐标系.
则有A(0,0,2),B(3,0,0),C(0,4,0),E(0,2,0).
 
所以,cos<>.          ……………………3分
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,
所以,异面直线BEAC所成角的余弦值是.      ……………………5分

(II)
设平面ABE的法向量为
则由,得

又因为
所以平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),
所以. ……………………8分
由于二面角ABEC的平面角是n1n2的夹角的补角,
所以,二面角ABEC的余弦值是.……………………10分
点评:对于角的求解问题,一般分为三步进行,一作,二证,三解答。因此要掌握角的表示,结合定义法和性质来分析得到角,进而求解,属于基础题。
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