题目内容

在如图的直三棱柱中,,点的中点.

(1)求证:∥平面
(2)求异面直线所成的角的余弦值;
(3)求直线与平面所成角的正弦值;
(1)建立空间直角坐标系,利用向量证明,进而用线面平行的判定定理即可证明;
(2)
(3)

试题分析:因为已知直三棱柱的底面三边分别是3、4、5,
所以两两互相垂直,
如图以为坐标原点,直线分别为轴、轴、
建立空间直角标系,                                                     ……2分

则,.
(1)设的交点为,连接,则
 
, ∵内,平面
∥平面 ;                                                  ……4分
(2)∵ ∴
.                              ……6分

∴所求角的余弦值为 .                                             ……8分
(3)设平面的一个法向量,则有:
,解得,.                                    ……10分
设直线与平面所成角为. 则
所以直线与平面所成角的正弦值为.                 ……12分
(其它方法仿此酌情给分)
点评:解决立体几何问题,可以用判定定理和性质定理,也可以建立空间直角坐标系用向量方法证明,但是用向量方法时,也要依据相应的判定定理和性质定理,定理中需要的条件要一一列举出来,一个也不能少.
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