Question

8．设函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂有f（x₁）+f（x₂）=2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）•f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$），且f（$\frac{π}{2}$）=0，f（π）=-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数，且f（π-x）=-f（x）

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x₁=x₂=π，即可求f（0）的值；
（2）令x₁=x，x₂=-x，结合函数的奇偶性的定义进行证明即可．

解答 （1）令x₁=x₂=π，可得2f（π）=2f（π）f（0），
∵f（π）=-1，
∴得f（0）=1．
（2）令x₁=x，x₂=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（x）•f（0）
∵f（0）=1∴f（x）=f（-x）
∴f（x）是偶函数；
令x₁=π，x₂=0，可得f（π）+f（0）=2f（$\frac{π}{2}$）f（$\frac{π}{2}$），
又∵f（0）=1，f（π）=-1，
∴f（0）+f（π）=0
∴得f（$\frac{π}{2}$）=0，
令x₁=x，x₂=π-x，可得f（x）+f（π-x）=2f（$\frac{π}{2}$）f（$\frac{2x-π}{2}$）=0
∴f（π-x）+f（x）=0．
即f（π-x）=-f（x）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．