题目内容
20.已知f(x)=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$(0<a<1)(1)证明:f(x)定义域上的减函数;
(2)求f(x)的值域.
分析 (1)先化简f(x),求出定义域为R,再用定义证明f(x)是定义域R上的减函数;
(2)根据f(x)在定义域R上是减函数,求出-1<f(x)<1,即得f(x)的值域.
解答 解:(1)证明:∵f(x)=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$(0<a<1),
且a2x+1≠0,∴x∈R;
任取x1、x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(1-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{1}}+1}$)-(1-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{2}}+1}$)
=$\frac{2}{{a}^{{2x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{1}}+1}$
=$\frac{2{(a}^{{2x}_{1}}{-a}^{{2x}_{2}})}{{(a}^{{2x}_{1}}+1){(a}^{{2x}_{2}}+1)}$;
∵0<a<1,且x1<x2,
∴${a}^{{2x}_{1}}$>${a}^{{2x}_{2}}$,∴2(${a}^{{2x}_{1}}$-${a}^{{2x}_{2}}$)>0,且(${a}^{{2x}_{1}}$+1)(${a}^{{2x}_{2}}$+1)>0;
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)是定义域R上的减函数;
(2)∵f(x)=1-$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$是定义域R上的减函数,且0<a<1;
∴当x→-∞时,a2x→+∞,$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$→0,∴f(x)<1;
当x→+∞时,a2x→0,$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$→2,∴f(x)>-1;
∴f(x)的值域是(-1,1).
点评 本题考查了利用定义判断函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求值域的问题,是基础题目.