Question

13．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{4}$
（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若α，β是函数g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$的两个零点，且α，β的终边不共线，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），由2kπx∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，根据余弦函数的图象和性质即可求得f（x）的单调递减区间．
（2）由题意可得cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos（2β+$\frac{π}{3}$），故2α+$\frac{π}{3}$=2kπ-（2β+$\frac{π}{3}$），k∈z，由此求得α+β 的值，可得tan（α+β ）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$[cos$\frac{2π}{3}$+cos2x]-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=-$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2s+\frac{1}{4}$
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[-$\frac{2π}{3}$，0]∪[π，$\frac{4π}{3}$]．
（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）-$\frac{2}{3}$=f（β）-$\frac{2}{3}$，即f（α）=f（β），
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos（2β+$\frac{π}{3}$），
∴2α+$\frac{π}{3}$=2kπ-（2β+$\frac{π}{3}$），k∈z，
∴α+β=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈z，
故 tan（α+β ）=-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查利用三角恒等变换进行化简求值，复合三角函数的单调性与对称性，属于中档题．