题目内容
【题目】已知函数有两个不同的零点
,
.
(1)求a的范围;
(2)证明:.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)分类讨论参数的范围,利用导数得出单调性,结合函数的零点个数,得出
的范围;
(2)不妨设,由(1)可知,
,结合函数
的单调性,得出
等价于
,即
,构造函数
,
,求出
,即可得出结论.
(1)
当时,
;
在
上单调递减,在
上单调递增,
,且当x→﹣∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
则函数有两个不同的零点
,
,
当时,
或
;
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增
结合可知,此时函数
只有一个零点
当时,
或
;
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增
结合,
可知,此时函数
只有一个零点,
当a=0时,f(x)=xex只有一个零点x=0,不合题意;
综上,.
(2)不妨设,由(1)可知,
在
上单调递减
等价于
,即
由于,而
则
设,
,则
则函数在
上单调递减,
即,从而
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练习册系列答案
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.
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时,
测得数据如下表(部分):
x(单位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当该产品中的新材料含量x为何值时,产品的性能指标值最大.