题目内容
【题目】如图,一个湖的边界是圆心为的圆,湖的一侧有一条直线型公路
,湖上有桥
(
是圆
的直径).规划在公路
上选两个点
,并修建两段直线型道路
.规划要求:线段
上的所有点到点
的距离均不小于圆
的半径.已知点
到直线
的距离分别为
和
(
为垂足),测得
,
,
(单位:百米).
(1)若道路与桥
垂直,求道路
的长;
(2)在规划要求下,和
中能否有一个点选在
处?并说明理由.
【答案】(1)15(百米);(2)不能,理由见解析
【解析】
(1)作,可求得
,从而得到
,由
可求得结果;
(2)①若在
处,线段
上的点(除
)到点
的距离均小于圆
的半径,不符合规划要求;②若
在
处,可得到
;利用余弦定理可验证出
为锐角,可知
上存在点到点
的距离小于圆
的半径,不符合规划要求;由此可得结论.
(1)过点作
,垂足为
由已知条件得:四边形为矩形
,
道路
的长为
(百米)
(2)不能,理由如下:
①若在
处,由(1)可得
在圆上
则线段上的点(除
)到点
的距离均小于圆
的半径
选在
处不满足规划要求
②若在
处,连接
由(1)知:
为锐角
线段
上存在点到点
的距离小于圆
的半径
选在
处也不满足规划要求
综上所述:和
均不能选在
处
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