题目内容
【题目】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B以及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD内(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为
km．
(I)设
，将表示成
的函数关系式；
(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．
【答案】（I）
（II）污水处理厂的位置为点P位于线段AB的中垂线上且距离
处，
【解析】
(I)在直角三角形AOQ中,利用AQ=10,
可以求得OA和OQ,从而可得OP=10-OQ,
然后可得
,并写上
的范围,即可得到.
(II)利用导数得到函数的单调性,根据单调性可求得函数的最值.
（I）由条件PQ垂直平分AB，若，则
，
故
又
,所以
,
所以
，
所求函数关系式为
（II）
,
令
,得
,
,所以
,
当
时,
,
是的减函数,
当
时,
, 是的增函数,
所以当时,
,
此时点
位于线段
的中垂线上,且距离边
处.
所以三条排污管管道总长最短为
【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．
（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（
，
]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50＋2n单．若将频率视为概率，回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由。
（参考数据：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）
【答案】（Ⅰ）甲方案的函数关系式为： 
，乙方案的函数关系式为：
；（Ⅱ）①见解析，②见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题意可得甲方案中派送员日薪
（单位：元）与送单数
的函数关系式为： ， 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：.
（Ⅱ）①由题意求得X的分布列，据此计算可得
，
，
.
②答案一：由以上的计算可知，
远小于
，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.
答案二：由以上的计算结果可以看出，
，所以小明应选择乙方案.
（Ⅰ）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ，
乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：
（Ⅱ）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：
单数 | 52 | 54 | 56 | 58 | 60 |
频率 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
的分布列为：
| 152 | 154 | 156 | 158 | 160 |
| 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
所以
的分布列为：
| 140 | 152 | 176 | 200 |
| 0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
②答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.
答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图，数学期望与方差的含义与实际应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为
，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．
