题目内容
【题目】已知四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ADC=90°,DC=AB,F,M分别是线段PC,PB的中点.
(1)在线段AB上找出一点N,使得平面CMN∥平面PAD,并给出证明过程;
(2)若PA=AB,DC=
AD,求二面角C—AF—D的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)取的中点
,连接
,取
的中点
,连接
,然后通过中位线,证明线线平行,进而得到线面平行,进而得到面面平行.(2)以
分别为
轴建立空间直角坐标系,通过计算平面
和平面
的法向量,来求得面面角的余弦值.
(1)证明:取AB的中点N,连接CN,MN,取PA的中点Q,连接QM,DQ;
在中,MQ
AB,
,而
,故AB//CD,
故QM//DC,且QM=DC,四边形CDQM为平行四边形,
CM//DQ,
又平面PAD,
平面PAD,
平面PAD;
∵MNPA,
平面PAD,PA
平面PAD,
MN//平面PAD;
因为,故平面CMN//平面PAD;
(2)由已知得:两两垂直,以
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,设
,则
,
,
,
则,
,
,
所以,
.
设是平面
的一个法向量,则
,令
,得
.
设是平面
的一个法向量,则
,令
,
.
又二面角为锐角,故二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为二级过滤,使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装,再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个160元,二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元,二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表,图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1:一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数 | 8 | 9 |
频数 | 60 | 40 |
图2:二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率;
(2)记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数,求
的分布列及数学期望;
(3)记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
,且
,以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据,试确定
的值.