题目内容
【题目】已知在上的函数
,
,
其中,设两曲线
有公共点,且在公共点处的切线相同.
(Ⅰ)若,求
的值;
(Ⅱ)用表示
,并求
的最大值。
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
,
的最大值为
.
【解析】试题分析:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后利用两直线重合列出等式即可求得b值;
(2)利用(1)类似的方法,利用a的表达式来表示b,然后利用导数来研究b的最大值,研究此函数的最值问题,先求出函数的极值,结合函数的单调性,最后确定出最大值与最小值即得.
试题解析:
(Ⅰ)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点处的切线相同
,由题意知
,
∴由
得,
或
(舍去),即有
(Ⅱ)设y=f(x)与y=g(x) (x>0)在公共点处的切线相同
,由题意知
,
∴由得,
或
(舍去)
即有, 令
(t>0),
则,于是当2t(1-3lnt)>0,即
时,
;
当2t(1-3lnt)<0,即时,
,故h(t)在
的最大值为
,
故的最大值为
.
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