题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当为何值时,
轴为曲线
的切线;
(2)用表示
中的最小值,设函数
,讨论
零点的个数.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当
或
时,
由一个零点;当
或
时,
有两个零点;当
时,
有三个零点.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组,解出切点坐标与对应的值;(Ⅱ)根据对数函数的图像与性质将
分为
研究
的零点个数,若零点不容易求解,则对
再分类讨论.
试题解析:(Ⅰ)设曲线与
轴相切于点
,则
,
,即
,解得
.
因此,当时,
轴是曲线
的切线.
(Ⅱ)当时,
,从而
,
∴在(1,+∞)无零点.
当=1时,若
,则
,
,故
=1是
的零点;若
,则
,
,故
=1不是
的零点.
当时,
,所以只需考虑
在(0,1)的零点个数.
(ⅰ)若或
,则
在(0,1)无零点,故
在(0,1)单调,而
,
,所以当
时,
在(0,1)有一个零点;当
0时,
在(0,1)无零点.
(ⅱ)若,则
在(0,
)单调递减,在(
,1)单调递增,故当
=
时,
取的最小值,最小值为
=
.
①若>0,即
<
<0,
在(0,1)无零点.
②若=0,即
,则
在(0,1)有唯一零点;
③若<0,即
,由于
,
,所以当
时,
在(0,1)有两个零点;当
时,
在(0,1)有一个零点.…10分
综上,当或
时,
由一个零点;当
或
时,
有两个零点;当
时,
有三个零点.
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