题目内容
【题目】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋
＝1 (a>b>0)的离心率是
，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上；
②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求
的最大值及取得最大值时点P的坐标．
【答案】（1）
；（2）①证明见解析；②
的最大值为
，此时点P的坐标为
.
【解析】试题分析：(1)利用离心率、抛物线的焦点进行求解；(2)①设出点的坐标和直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于
的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解；②利用点到直线的距离公式、弦长公式和函数的性质进行求解.
试题解析：(1)由题意知
＝
，
可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点为F
，所以b＝
，a＝1，
所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.
(2)①证明 设P
(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－
＝m(x－m)，
即y＝mx－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
联立方程
得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.
由Δ>0，得0<m<
(或0<m2<2＋
)．(*)
且x1＋x2＝
，因此x0＝
，将其代入y＝mx－，
得y0＝
，因为
＝－
.
所以直线OD的方程为y＝－x，
联立方程
得点M的纵坐标yM＝－
，
所以点M在定直线y＝－上．
②由①知直线l的方程为y＝mx－，令x＝0，得y＝－，
所以G
，
又P，F，D
，
所以S1＝·|GF|·m＝
，
S2＝·|PM|·|m－x0|＝×
×
＝
，
所以
＝
.
设t＝2m2＋1，则＝
＝
＝－
＋
＋2，
当＝，即t＝2时，取到最大值
，
此时m＝
，满足(*)式，所以P点坐标为
.
因此的最大值为，此时点P的坐标为.
