题目内容
【题目】已知函数有两个不同的零点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)记两个零点分别为,且
,已知
,若不等式
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(I);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)方程在
有两个不同跟等价于函数
与函数
的图像在
上有两个不同交点,对
进行求导,通过单调性画出
的草图,由
与
有两个交点进而得出
的取值范围; (Ⅱ)分离参数得:
,从而可得
恒成立;再令
,从而可得不等式
在
上恒成立,再令
,从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可.
试题解析:(I)依题意,函数的定义域为
,
所以方程在
有两个不同跟等价于函数
与函数
的图像在
上有两个不同交点.
又,即当
时,
;当
时,
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
从而.
又有且只有一个零点是1,且在
时,
,在
时,
,
所以的草图如下:
可见,要想函数与函数
在图像
上有两个不同交点,只需
.
(Ⅱ)由(I)可知分别为方程
的两个根,即
,
,
所以原式等价于.
因为,
,所以原式等价于
.
又由,
作差得,
,即
.
所以原式等价于.
因为,原式恒成立,即
恒成立.
令,则不等式
在
上恒成立.
令,则
,
当时,可见
时,
,所以
在
上单调递增,又
在
恒成立,符合题意;
当时,可见当
时,
;当
时,
,
所以在
时单调递增,在
时单调递减.
又,所以
在
上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述,若不等式恒成立,只须
,又
,所以
.
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