Question

已知函数y=f（x），对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+m，则函数g（x）=f（x）+m+3ln

e

，x∈[-1，1]的最大值与最小值之和是______．

Answer 1

∵函数y=f（x），对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+m，
∴令x=y=0时，f（0）=f（0）+f（0）+m，
∴f（0）=-m，
令y=-x时，f（0）=f（x）+f（-x）+m，
∴f（x）+f（-x）=-2m，
令h（x）=f（x）+m，则h（x）+h（-x）=0即h（x）为奇函数，
奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，
设h（x）在[-1，1]的最大值为M，则h（x）在[-1，1]的最小值为-M，
∴函数g（x）在[-1，1]的最大值为3ln

e

+M，则g（x）在[-1，1]的最小值为3ln

e

-M，
∴函g（x）=f（x）+m+3ln

e

在[-1，1]的最大值与最小值之和为6ln

e

=3．
故答案为：3．