Question

设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围．

Answer 1

（1）证明：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵对x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得当x₁＞0时，f（x₁）＞1＞0
当x₁=0时，f（x₁）=1＞0
当x₁＜0时，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1∴0＜f（x₁）＜1
故对于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），故命题得证．
（3）解由f（x²+y²）＜f（1），则由单调性知x²+y²＜1．
由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，
若A∩B=φ，则只要圆x²+y²=1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故

|c|

2

≥1．
∴c≥

2

或c≤-

2