题目内容
【题目】已知椭圆的焦距为
,椭圆
上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆
交于
两点,点
(0,1),且
=
,求直线
的方程.
【答案】(1) ;(2)
或
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为
可得
,由
的焦距为
,可得
,再由
的关系可得
,进而得到椭圆方程;(II)直线
代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于
,再由中点坐标公式和两直线垂直的条件,可得
的方程,解方程可得
,从而可得直线方程.
试题解析:(Ⅰ)由已知,
,解得
,
,
所以,
所以椭圆C的方程为。
(Ⅱ)由 得
,
直线与椭圆有两个不同的交点,所以解得
。
设A(,
),B(
,
)
则,
,
计算,
所以,A,B中点坐标E(,
),
因为=
,所以PE⊥AB,
,
所以, 解得
,
经检验,符合题意,所以直线的方程为
或
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在
轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
或
;③找关系:根据已知条件,建立关于
、
、
的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
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