题目内容
【题目】对于实数,将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分,用记号表示.对于实数,无穷数列满足如下条件:,其中.
(1)若,求数列;
(2)当时,对任意的,都有,求符合要求的实数构成的集合;
(3)若是有理数,设(是整数,是正整数,互质),问对于大于的任意正整数,是否都有成立,并证明你的结论.
【答案】(1);(2);(3)成立,证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用新定义,可求数列的通项公式;(2)分类讨论,利用,即可求符合要求的实数构成的集合;(3)由是有理数,可知对一切正整数,为或正有理数,可设(是非负整数,是正整数,且,互质),利用反证法可得结论.
试题解析:(1),,
若,则,
所以.
(2),所以,所以,
①当,即时,,所以,
解得(,舍去).
②当,即时,,所以,
解(,舍去).
③当,即时,,所以,
解得(舍去).
综上.
(2)成立.由是有理数,可知对一切正整数,为0或正有理数,
可设(是非负整数,是正整数,且既约).
①由,可得;
②若,设(,,是非负整数),
则,而由得,
,故,,可得.
若则,
若均不为0,则这正整数互不相同且都小于,
但小于的正整数共有个,矛盾.
故中至少有一个为0,即存在,使得.
从而数列中以及它之后的项均为0,所以对不大于的自然数,都有.
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