题目内容
【题目】已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝
.
(1)当n∈N＋，求f(n)的表达式；
(2)设an＝nf(n)，n∈N＋，求证：a1＋a2＋…＋an<2.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通过令x=n，y=1，说明{f（n）}是以f(1)＝为首项，公比为的等比数列求出
；（2）利用（1）求出an=nf（n）的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可说明不等式成立．
(1)解：f(n)＝f[(n－1)＋1]
＝f(n－1)·f(1)＝
f(n－1)．
∴当n≥2时，
＝.
又f(1)＝，
∴数列{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，
∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.
(2)证明：由(1)可知，
an＝n·()n＝n·
，
设Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则Sn＝＋2×
＋3×
＋…＋(n－1)·
＋n·，①
∴Sn＝＋2×＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·
.②
①－②得，
Sn＝＋＋＋…＋－n·
＝
－
＝1－－，
∴Sn＝2－－
<2.
即a1＋a2＋…＋an<2.
【点睛】
本题考查数列与函数的关系，数列通项公式的求法和的求法，考查不等式的证明，裂项法与错位相减法的应用，数列通项的求法中有常见的已知
和
的关系，求表达式，一般是写出
做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a (a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．
【答案】（1）bn＝ (a－3)2n－1（2）[－9，＋∞)．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知bn＝Sn－3n，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n),bn+1=2bn，则{bn}是首项是a﹣3，公比为2的等比数列，即可求得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）先求得数列an通项an＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，将数列表达式代入不等式an＋1≥an，得到a≥3－12·(
)n－2根据指数的单调性得到a的范围.
(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即{Sn－3n}是以a－3为首项，以2为公比的等比数列．
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N＋.①
(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝3n＋(a－3)×2n－1－3n－1－(a－3)×2n－2
＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2[12·(
)n－2＋a－3]，
当n≥2时，an＋1≥an12·()n－2＋a－3≥0
a≥3－12·()n－2a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1，
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
