Question

【题目】已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣+x，其中∈R，e是自然对数的底数．

（1）当＞0时，讨论函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；

（2）若函数g（x）＝f（x）+2﹣，证明：使g（x）≥0在上恒成立的实数a能取到的最大整数值为1．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）讨论的范围，判断f（x）的符号，得出f（x）的单调性；

（2）分别计算＝1和＝2时g（x）的最小值，判断g（x）的最小值的符号得出结论．

（1）f（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+＝（x﹣1）（ex﹣），令f（x）＝0解得x＝ln，

①若ln≤1，即0＜≤e，则f（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增；

②若ln＞1，即＞e，则当1＜x＜ln时，f′（x）＜0，当x＞ln时，f（x）＞0，

∴f（x）在（1，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增，

（2）g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+2，

①当＝1时，g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+2，＝xex﹣1，＝（x+1）ex，

∴当x＜﹣1时，＜0，当x＞﹣1时，＞0，

∴在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，

∴的最小值为g（﹣1）＝﹣﹣1＜0，

又当x＜0时，＜0，g（0）＝﹣1，g（ln2）＝2ln2﹣1＞0，

∴存在唯一一个实数x0∈（0，ln2），使得g（x0）＝0，即x0＝1．

∴g（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

∴g（x）的最小值为g（x0）＝+x0﹣﹣x0+2＝3﹣（+x0），

∵0＜x0＜ln2，∴1＜＜2，∴+x0＜2+ln2＜3，∴g（x0）＝3﹣（+x0）＞0，

∴当＝1时，g（x）≥0在R上恒成立．

②当＝2时，g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣2x+2，＝xex﹣2，g（x）＝（x+1）ex，

由①可知在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，

的最小值为g（﹣1）＝﹣﹣2＜0，且当x＜0时，＜0，g（ln2）＝2ln2﹣2＜0，g（1）＝e﹣2＞0，

∴存在唯一一个实数x0∈（ln2，1），使得g（x0）＝0，即x0＝2．

∴g（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

∴g（x）的最小值为g（x0）＝+x0﹣﹣2x0+2＝4﹣（+2x0），

∵ln2＜x0＜1，∴2＜＜e，∴+2x0＞2+2ln2＞4，∴g（x0）＝3﹣（+x0）＜0，

∴当＝2时，g（x）≥0在R上不恒成立．

综上，实数能取到的最大整数值为1．