题目内容
【题目】已知函数(
为常数,
且
),且数列
是首项为
,公差为
的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,当
时,求数列
的前
项和
的最小值;
(3)若,问是否存在实数
,使得
是递增数列?若存在,求出
的范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,
.
【解析】
(1)由题意得出,利用对数运算得出
,然后计算出
为非零常数,利用等比数列的定义可证明出数列
是等比数列;
(2)求出和
,利用分组求和法得出
,然后分析数列
为单调递增数列,可得出该数列的最小值为
,由此可得出结果;
(3)求出,由数列
是递增数列,得出
,可得出
,然后分
和
两种情况分类讨论,利用不等式的性质和参变量分离法可得出实数
的取值范围.
(1)证明:由题意,
即,得
,且
,
.
常数
且
,
为非零常数,
数列
是以
为首项,
为公比的等比数列;
(2)当时,
,
,
.
.
,数列
是递增数列,
因而最小值为;
(3)由(1)知,,要使
对一切
成立,
即对一切
成立.
当时,
,
对一切
恒成立;
当时,
,
对一切
恒成立,只需
,
单调递增,
当
时,
.
,且
,
.
综上所述,存在实数满足条件.

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