题目内容
【题目】在平面直角坐标系 中,过椭圆
右焦点
的直线
交
于
两点 ,
为
的中点,且
的斜率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点的直线
(不与坐标轴垂直)与椭圆交于
两点,若在线段
上存在点
,
使得,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意求得 ,则椭圆
的方程为
.
(2)由题意联立直线与椭圆的方程,整理可得关于t的函数,据此可得
的取值范围是
.
试题解析:
解:(1) 设 ,则
,相减得,
,由题意知
,设
,因为
为
的中点,且
的斜率为
,所以
,即
,所以可以解得
,即
,即
,又因为
,所以椭圆
的方程为
.
(2) 设线段的中点为
,因为
,所以
,设直线
的方程为
,代入椭圆
的方程为
,得
,设
,则
.则
,即
,
由已知得 ,整理得
,因为
,所以
,
所以 的取值范围是
.
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