Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小．

Answer 1

【答案】解：设AQ=x，AP=y，则DQ=1﹣x，PB=1﹣y，（0＜x＜1，0＜y＜1），
则tan∠DCQ= =1﹣x，tan∠BCP=1﹣y，tan（∠DCQ+∠BCP）= = ①．
在Rt△APQ中，PQ2=AQ2+AP2=x2+y2 ， 又PQ=2﹣（x+y），∴（2﹣x﹣y）2=x2+y2 ， 即 xy=2（x+y）﹣2 ②．
把②代入①可得tan（∠DCQ+∠BCP）=1，∴∠DCQ+∠BCP=45°，∴∠PCQ=45°
【解析】设AQ=x，AP=y，利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DCQ= =1﹣x，tan∠BCP=1﹣y，再两角和的正切公式求得tan（∠DCQ+∠BCP）=1，可得∠DCQ+∠BCP=45°，从而求得∠PCQ=45°．
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正切公式，掌握两角和与差的正切公式：即可以解答此题．