Question

【题目】设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为_____________________.

Answer 1

【答案】

【解析】分析：求出函数f（x）=﹣ex﹣x+3a的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x+3a上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=a（x﹣1）+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．

详解：由f（x）=﹣ex﹣x+3a，得f′（x）=﹣ex﹣1，

由g（x）=（x﹣1）a+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，

又﹣2sinx∈[﹣2，2]，

∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，

要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x+3a上任意一点的切线为l1，

总存在过曲线g（x）=a（x﹣1）+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，

所以（﹣ex﹣1）（a﹣2sinx）=-1，所以（a﹣2sinx）=，

∵ex+1＞1，∴∈（0，1），

所以（0，1）[﹣2+a，2+a]，

则，解得﹣1≤a≤2．

即a的取值范围为[﹣1，2]．故答案为:.