题目内容
【题目】已知圆:
.
(Ⅰ)求过点的圆
的切线方程;
(Ⅱ)设圆与
轴相交于
,
两点,点
为圆
上异于
,
的任意一点,直线
,
分别与直线
交于
,
两点.
(ⅰ)当点的坐标为
时,求以
为直径的圆的圆心坐标及半径
;
(ⅱ)当点在圆
上运动时,以
为直径的圆
被
轴截得的弦长是否为定值?请说明理由.
【答案】(Ⅰ)或
;(Ⅱ)(ⅰ)圆心为
,半径
;(ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)先判断在圆
外, 所以圆
过点
的切线有两条.再由斜率是否存在分别讨论.(Ⅱ)(ⅰ)设直线PA和PB把其与直线
交于
,
两点表示出来,写出圆的方程化简即可.(ⅱ)先求出以
为直径的圆
被
轴截得的弦长,在设出PA和PB的直线方程,分别求出与直线
的交点,求出圆心,再根据勾股定理易求解.
(Ⅰ)因为点在圆
外, 所以圆
过点
的切线有两条.
当直线的斜率不存在时,直线方程为,满足条件.
当直线的斜率存在时,可设为,即
.
由圆心到切线的距离,解得
. 此时切线方程为
.
综上,圆的切线方程为
或
.
(Ⅱ)因为圆与
轴相交于
,
两点,所以
,
.
(ⅰ)当点坐标为
时,直线
的斜率为
,直线
的方程为
.
直线与直线
的交点坐标为
,
同理直线的斜率为
,直线
的方程为
.
直线与直线
的交点坐标为
. 所以以
为直径的圆的圆心为
,半径
.
(ⅱ)以为直径的圆
被
轴截得的弦长为定值
.
设点,
则
.
直线的斜率为
,直线
的方程为
.
直线与直线
的交点坐标为
.
同理直线的斜率为
,直线
的方程为
.
直线与直线
的交点坐标为
.
所以圆的圆心,半径为
.
方法一:圆被轴截得的弦长为
.
所以以为直径的圆
被
轴截得的弦长为定值
.
方法二:圆的方程为.
令,解得
.
所以.
所以圆与轴的交点坐标分别为
,
.
所以以为直径的圆
被
轴截得的弦长为定值
.
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