Question

【题目】如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）存在点P，使得平面，且．

【解析】

试题（ I ） 根据直线与平面垂直的判定定理，需证明垂直平面内的两条相交直线．由题意易得四边形是菱形，所以，从而，即，进而证得平面．（Ⅱ） 由（ I ）可知，、、两两互相垂直，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根据直线与平面平行的判定定理，只要能找到一点P使得PM平行平面内的一条直线即可．由于，故可取线段中点P，中点Q，连结．则，且．由此即可得四边形是平行四边形，从而问题得证．

试题解析：（ I ） 由题意可知四边形是平行四边形，所以，故．

又因为，M为AE的中点所以，

即

又因为，

所以四边形是平行四边形．

所以

故．

因为平面平面， 平面平面，平面

所以平面．

因为平面， 所以．

因为，、平面，

所以平面．

（Ⅱ） 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，．

平面的法向量为．

设平面的法向量为， 因为，，

， 令得，．

所以， 因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

（Ⅲ） 存在点P，使得平面．

法一: 取线段中点P，中点Q，连结．

则，且．

又因为四边形是平行四边形，所以．

因为为的中点，则．

所以四边形是平行四边形，则．

又因为平面，所以平面．

所以在线段上存在点，使得平面，．

法二：设在线段上存在点，使得平面，

设，（），，因为．

所以．

因为平面， 所以，

所以， 解得， 又因为平面，

所以在线段上存在点，使得平面，．