题目内容
15．
如图，已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠AOC=120°，向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模分别为2，1，3，若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，则实数m+n的值为$-3-3\sqrt{3}$．
分析 求出题意求出∠BOC=90°，由向量的数量积运算化简$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=0，再化简${\overrightarrow{OC}}^{2}=（m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}）^{2}$列出方程求值，由图象确定m、n的值．
解答 解：∵∠AOB=150°，∠AOC=120°，∴∠BOC=90°，
则$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=0，
∵向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模分别为2，1，3，且$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OB}•（m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}）=0$，则$m\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}+n{\overrightarrow{OB}}^{2}=0$，
化简得，$-\sqrt{3}m+n=0$，①
∵${\overrightarrow{OC}}^{2}=（m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}）^{2}$，∴${\overrightarrow{OC}}^{2}={m}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2mn\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{n}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$，
则9=$4{m}^{2}+{n}^{2}-2\sqrt{3}mn$，②，
由①②得，m2=9，m=±3，
由图可得m=-3，代入①n=-3$\sqrt{3}$，
∴m+n=$-3-3\sqrt{3}$，
故答案为：$-3-3\sqrt{3}$．
点评 本题考查向量的数量积运算，向量的模的转化，以及向量垂直的充要条件的应用，对数学思维的要求比较高，难度大，易出错．
| A． | $\frac{5}{7}$ | B． | $\frac{6}{7}$ | C． | $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ | D． | $\frac{\sqrt{13}}{7}$ |
| A． | [-2，2] | B． | [-1，2] | C． | [-1，1] | D． | [0，2] |