Question

3．已知${（2x+\root{3}{x^2}）^n}$的展开式中，倒数第3项的二项式系数为45，
（1）求展开式中x⁵的项；
（2）求二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由倒数第3项的二项式系数为45列式求得n值，然后写出二项展开式的通项，由x的指数等于5求得r值，则答案可求；
（2）由（1）可得展开式共有11项，得到第6项的二项式系数最大，由此求得最大项．

解答 解：（1）由${C}_{n}^{2}=45$，得n=10，
${T}_{r+1}={C}_{10}^{r}（2x）^{10-r}（{x}^{\frac{2}{3}}）^{r}={C}_{10}^{r}{2}^{10-r}{x}^{10-\frac{5}{3}r}$，
令10-$\frac{5}{3}r=5$，得r=3．
∴${T}_{4}={C}_{10}^{3}{2}^{7}{x}^{5}=15360{x}^{5}$；
（2）由（1）知，展开式共有11项，
∴第6项的二项式系数最大，${T}_{6}=8024{x}^{\frac{25}{3}}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项及应用，是基础题．