Question

4．如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
求证：
（Ⅰ）A，D，E，F四点共圆；
（Ⅱ）AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明∠ADB=90°，∠EFA=90°，即可证明A，D，E，F四点共圆；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD•BE=BA•BF，利用△ABC∽△AEF，可得AB²=BE•BD-AE•AC，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）连结AD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，-----（3分）
又EF⊥AB，∠EFA=90°，则A、D、E、F四点共圆，------------（6分）　　　　
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD•BE=BA•BF．-----------------------（8分）
又△ABC∽△AEF，∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，即AB•AF=AE•AC．--------（10分）
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB（BF-AF）=AB²．---------（12分）

点评 本题考查三角形相似的判断，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．