Question

11．设a，b，c为互不相等的正整数，求证：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≤a+$\frac{b}{{2}^{2}}$+$\frac{c}{{3}^{2}}$．（用柯西不等式证明）

Answer 1

分析 由柯西不等式可得（$\frac{1}{\sqrt{a}}•\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{b}}•\frac{\sqrt{b}}{2}$+$\frac{1}{\sqrt{c}}•\frac{\sqrt{c}}{3}$）²≤（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）（a+$\frac{b}{4}$+$\frac{c}{9}$），结合等号成立的条件，即可得证．

解答 证明：由柯西不等式可得
（$\frac{1}{\sqrt{a}}•\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{b}}•\frac{\sqrt{b}}{2}$+$\frac{1}{\sqrt{c}}•\frac{\sqrt{c}}{3}$）²≤（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）（a+$\frac{b}{4}$+$\frac{c}{9}$），
即为（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）²≤（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）（a+$\frac{b}{4}$+$\frac{c}{9}$），
当且仅当$\frac{1}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{{b}^{2}}$=$\frac{9}{{c}^{2}}$，即有a=1，b=2，c=3时，上式取得等号．
故不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≤a+$\frac{b}{{2}^{2}}$+$\frac{c}{{3}^{2}}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查柯西不等式的运用，属于中档题．