Question

20．求函数y=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x+1}$（x≥3且a＞0）的最小值．

Answer 1

分析 变形利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵x≥3且a＞0，
∴函数y=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x+1}$=$\frac{ax（x+1）-a（x+1）+a+（x+1）}{x+1}$=ax+$\frac{a}{x+1}$+1-a=$a（x+1+\frac{1}{x+1}）$+1-2a，
令f（x）=x+1+$\frac{1}{x+1}$（x≥3），f′（x）=1-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，∴函数f（x）在x≥3时单调递增，
∴f（x）≥f（3）=4+$\frac{1}{5}$$≥\frac{21}{5}$，
∴y$≥\frac{21}{5}a$+1-2a=$\frac{11}{5}a$+1，当且仅当x=3时取等号．
∴函数y=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x+1}$（x≥3且a＞0）的最小值为$\frac{11a}{5}$+1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．