Question

已知抛物线，直线，是抛物线的焦点。

（1）在抛物线上求一点，使点到直线的距离最小；
(2)如图，过点作直线交抛物线于A、B两点.
①若直线AB的倾斜角为，求弦AB的长度；
②若直线AO、BO分别交直线于两点,求的最小值.

Answer 1

（1）；(2)①；②的最小值是.

试题分析：（1）数形结合，找出与与平行的切线的切点即为P.(2)易得直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式，可求AB；②设,可得AO，BO方程，与抛物线联立
试题解析：
解:(1)设，，
由题可知：
所求的点为：（或者用距离公式或同样给分）  3分
(2)①易知直线AB：，
联立：，消去y得，  5分
设，则
(用定义同样给分)  8分
②设,所以
所以的方程是:,由,
同理由  9分
所以
①  10分
设,由,
且,
代入①得到:
,  12分
设,
,
所以此时的最小值是,此时,;  13分
综上:的最小值是。  14分