题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,如果函数
仅有一个零点,求实数
的取值范围;
(2)当时,试比较
与1的大小;
(3)求证:
【答案】(1)的取值范围是
或
;(2)①当
时,
,即
;
②当时,
,即
;③当
时,
,即
;(3)证明过程详见解析.
【解析】试题分析:本题考查函数与导数、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识和方法,考查综合运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力,考查函数思想和分类讨论思想.第一问,先将代入得到
解析式,因为
仅有一个零点,所以
和
仅有一个交点,所以关键是
的图像,对
求导,令
和
判断函数的单调性,确定函数的极值和最值所在位置,求出具体的数值,便可以描绘出函数图像,来决定
的位置;第二问,先将
代入,得到
解析式,作差法比较大小,得到新函数
,判断
的正负即可,通过对
求导,可以看出
在
上是增函数且
,所以分情况会出现3种大小关系;第三问,法一:利用第二问的结论,得到表达式
,再利用不等式的性质得到所证表达式的右边,左边是利用对数的运算性质化简,得证;法二,用数学归纳法证明,先证明当
时不等式成立,再假设当
时不等式成立,然后利用假设的结论证明当
时不等式成立即可.
试题解析:(1)当时,
,定义域是
,
,令
,得
或
.
∵当或
时,
,当
时,
,
∴的极大值是
,极小值是
.
∵当时,
,当
时,
,
当
仅有一个零点时,
的取值范围是
或
. 4分
(2)当时,
,定义域为
.
令,
,
在
上是增函数.
①当时,
,即
;
②当时,
,即
;
③当时,
,即
. 8分
(3)(法一)根据(2)的结论,当时,
,即
.
令,则有
,
.
,
. 12分
(法二)当时,
.
,
,即
时命题成立.
设当时,命题成立,即
.
时,
.
根据(2)的结论,当时,
,即
.
令,则有
,
则有,即
时命题也成立.
因此,由数学归纳法可知不等式成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)