Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，O为BD的中点．
（1）求证：CD∥平面POA；
（2）若PO⊥底面ABCD，CD⊥PB，AD=PO=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：延长CO交CB于点H．

∵AD∥BC，BC=2AD，O为BD的中点

∴ ，∴DA=BH=CH，

∴四边形DCHA为平行四边形，即∴DC∥AO，

且AO平面POA，CD平面POA，∴CD∥平面POA；

（2）解：如图，∵CD⊥PB，由（1）得DC∥AO，DA=BH=CH∴AO⊥OB，四边形ABHD为菱形

∴AO⊥面POD，过O作OM⊥PD于H，连接AH，则∠AHO就是二面角A﹣PD﹣B的平面角．

∵AD=PO=2，∴BC=2，OH=1，OB=1

在Rt△CDB中，CD=AB=2，CB=4，则DB=2

在Rt△PDO中，则有POOD=PDOM，解得OM= ，

在Rt△AOM中，AM=

cos ．

∴二面角A﹣PD﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）延长CO交CB于点H，可得 ，DA=BH=CH，即四边形DCHA为平行四边形，DC∥CO，CD∥平面POA；（2）由（1）得DC∥AO，DA=BH=CH∴AO⊥OB，四边形ABHD为菱形，即AO⊥面POD，过O作OM⊥PD于H，连接AH，则∠AHO就是二面角A﹣PD﹣B的平面角，求解△AOM即可
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．