Question

【题目】已知函数 f（x）=2lnx+x2﹣ax． （Ⅰ）当a=5时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲线y=f（x）图象上的两个相异的点，若直线AB的斜率k＞1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， x1＜x2且x2＞e，若f（x1）﹣f（x2）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=5时，f（x）=2lnx+x2﹣5x．求导，

f′（x）= = ，（x＞0），

令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜ ，

令f′（x）＜0，解得： ＜x＜2，

∴f（x）的单调递增区间（0， ），（2，+∞）；f（x）的单调递减区间（ ，2）；

（Ⅱ）由题意可知：k= ＞1，∴ ＞0，

令g（x）=f（x）﹣x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴g′（x）=f′（x）﹣1≥0，

∴ ﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立，

∴a≤2x+ ﹣1在（0，+∞）上恒成立，

∵2x+ ≥4，x=1时取等号，

∴a≤3；

（Ⅲ）∵x1+x2= ，x1x2=1，∴a=2（x1+x2），x2= ，

∴f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣ax1）﹣（2lnx2+x22﹣ax2）= ﹣x12+2lnx12，

令x12=x，则0＜x＜ ，g（x）= ﹣x﹣2lnx，

∴g′（x）=﹣ ＜0，

∴g（x）在（0， ）上单调递减，

∴g（x）＞g（ ）= ﹣4，

∴m≤ ﹣4．

【解析】（Ⅰ）当a=5时，f（x）=2lnx+x2﹣5x．求导，利用导数的正负求f（x）的单调区间；（Ⅱ）由题意可知：k= ＞1， ＞0，构造函数，确定函数的单调性，分离参数，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣ax1）﹣（2lnx2+x22﹣ax2）= ﹣x12+2lnx12，令x12=x，则0＜x＜ ，g（x）= ﹣x﹣2lnx，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．