Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣k（ +lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A.（﹣∞，e]
B.[0，e]
C.（﹣∞，e）
D.[0，e）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）= ﹣k（ +lnx），

∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）

∴f′（x）= ﹣k（﹣ + ）=

∵x=2是函数f（x）的唯一一个极值点

∴x=2是导函数f′（x）=0的唯一根．

∴ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，

令g（x）=ex﹣kx

g′（x）=ex﹣k

①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的

g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解

②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk

0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减

lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增

∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk

∴k﹣klnk＞0

∴k＜e，

由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），

综上所述，k≤e．

故选C.

由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．